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一、余数问题的由来
我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
二、余数问题的解法
余数问题核心基础公式
余数基本关系式：被除数÷除数=商……余数（0≤余数＜除数）
余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数
在我们公务员行测考试中，一般余数问题有三种解法。
（一）同余问题核心口诀
“余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数作周期”
1、余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时该数可以选这个相同的余数，余同取余。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1。
2、和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同，此时该数可以选这个相同的和数，和同加和。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7。
3、差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同，此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3。
例：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。如果：100<P<1000，则这样的P有几个?
A.不存在 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C。解析：P除以8= ……7，P除以9=……8，P除以 10= ……9，差同，找除数8，9，10的公倍数360，所以有，100小于360N-1小于1000，所以有359和719两个数
（二）剩余定理
如果两个数相加和为另一个数字，如A+B=C.则ABC同时除以一个数字所剩的余数也满足这样的等式。如A除以3余m，B除以3余n，C除以3余0，则m+n一定是3的倍数。
例1. 6802-162×122-4642 =（ ）
A.210 240 B.196 000 C.197 100 D.198 000
【答案】A。解析：直接计算过于麻烦，利用剩余定理680、16×12、464均是8的倍数，则它们的平方都是8的平方即64的倍数。原式的值应是64的倍数，选项中只有A是64的倍数。
例2.买5件甲商品和3件乙商品，需要348元，如果买3件甲和2件乙，需要216元，那么单卖一件甲商品需要多少钱？（ ）
A．48B.46C.34D.32
【答案】A。解析一：5x+3y=348，3x+2y=216。2式乘以2再减去1式得x+y=84，带入1式可得x=48.
解析二:剩余定理。5x+3y=348。348除以3余数是0.3y除以3余数也为0，根据剩余定理可知5x也要是3的倍数，则只有可能x是3的倍数，选项中3的倍数只有A。
例3.药箱里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中的五箱，已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的一箱货物重多少千克？（ ）
A. 16 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】D解析：设买的少的顾客买了x，则另一个买了2x。剩余的一箱为m，则总的六箱为3x+m=119，119除以3余数为2，3x除以3余数也为2.根据剩余定理可知m除以3余数应该为2，四个选项中除3余数为2的只有D选项。
（三）余不同、和不同、差不同
主要针对“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目，这一类题主要转化为余同、合同或差同来解决。
例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有？
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】A。解析 ：如同上题做，不过分两步，如，P除以9= ……7，P除以5= ……2，P除以4= ……3先看下面后两个，是和同（余数同除数的和相同，和同加和,就是加除数最小公倍数的N倍加和）5*4N+7=20n+7,得到的20n+7可看成P除以20= ……7，与第一个又成为余同，余同加余，20*9n+7=180n+7,所以有100小于180n+7小于等于999。
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